Уравнение Навье-Стокса. Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Формула Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течение жидкости.

Понятие о числе Рейнольдса.

Жидкость, протекающую по цилиндрической трубе радиуса R, можно представить разделенной на концентрические слои (рис.10).В каждом таком слое

скорость течения постоянна, но от слоя к слою изменяется. Слой, прилипший к стенкам трубы, имеет скорость равную нулю, V min =0. Слой, текущий вдоль оси трубы, имеет максимальную скорость V max . Профиль скорости в этом случае является параболой (рис.10 а). Вдоль радиуса трубы (ось r) скорость изменяется, и это изменение характеризуется величиной .

Задача о течении вязкой жидкости по цилиндрическим трубам имеет исключительно важное значение для физиологии, так как кровеносная система является системой из многократно разветвляющихся цилиндрических сосудов различных диаметров.

Важнейшей закономерностью течения вязкой жидкости по цилиндрическим трубам является формула Пуазейля, позволяющая рассчитать объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за одну секунду.

,

где - объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубыза время

. Используя формулу (1), можно записать

где - средняя скорость течения жидкости в трубе. Тогда, учитывая, чтоS=

запишемQ=

Для вычисления

выделим в объеме текущей жидкости малый цилиндр произвольного радиусаr длиной l (рис.II). Обозначив давление в жидкости слева от выбранного цилиндра через Р 1 , а справа через Р 2 .На малый цилиндр в потоке действуют две силы: 1, обусловленная разностью давлений

- Р 2 , сообщающая цилиндру ускорение, и сила - сила трения (вязкости), которую испытывает этот цилиндр, перемещаясь в потоке жидкости.

Для силы F 1 запишем

где S 1 =

- площадь поперечного сечения малого цилиндра.

Используя формулу Ньютона, для силы F 2 получим:

F 2 =

,

где S 2 = 2

боковая поверхность малого цилиндра / поверхность соприкосновения этого цилиндра с остальным объемом жидкости /.

Чтобы цилиндр двигался с постоянной скоростью, надо, чтобы силы иуравновешивали друг друга, т.е. должно выполняться условие:

(15)

Условие (15) через модули сил запишем в виде F 1 =-F 2 или, подставив значение сил, получим

(Р 1 -Р 2)

= -

(16)

Произведем сокращения и выразим из этого уравнения

:

Проинтегрируем полученное уравнение, подставив предел интегрирования:

На осевой линии трубы r=0, а скорость

тогда (17) можно переписать в виде

(18)

Формула (18) была получена французским физиком и физиологом Пуазейлем в 1841 году. Из (18) видно, что максимальная скорость течения жидкости по трубе прямо пропорциональна перепаду давления

квадрату радиуса трубыR и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости и длине цилиндраl .Подставляя (18) в (14),получим Q=

или в окончательном виде

Q=

Полученное выражение носит название формулы Гагена-Пуазейля, или формулы Пуазейля.

Таким образом, объем жидкости Q, ежесекундно протекающей через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален четвертой степени радиуса трубы R (Q~R 4), разности давлений

и обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы

.

Часто проводят аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для однородного участка цепи

(сила токапрямо пропорциональна разности потенциалов

на участке цепи и обратно пропорциональна сопротивлениюR этого участка.) Формулу (19) представим в виде:

Q =.

Величину С =

называютгидравлическим сопротивлением . Оно тем больше, чем больше вязкость жидкости и длина трубыl , и зависит обратно пропорционально от четвёртой степени радиуса трубы R.

Таким образом, объём жидкости, ежесекундно протекающей через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален разности давлений

и обратно пропорционален гидравлическому сопротивлению С.

Аналогия между сопротивлением в электрической цепи и гидравлическим сопротивлением позволяет использовать правила для расчета сопротивления при последовательном и параллельном соединении труб с различными сопротивлениями.

Общее гидравлическое сопротивление труб, соединённых последовательно, рассчитывается по формуле:

С=С 1 +С 2 +С 3 +… , а соединённых параллельно, по формуле

.

Формула Пуазейля справедлива не для любого течения вязкой жидкости, а только для ламинарного течения.

В гидродинамике различают два вида течения жидкости – ламинарное и турбулентное. Ламинарным называют слоистое течение, при котором слои не перемешиваются друг с другом. Для цилиндрического профиля трубы профиль скорости такого течения дан на рис.10а.

Турбулентным называют течение, при котором происходит интенсивное перемешивание слоёв, образуются завихрения жидкости.

Турбулентность увеличивает гидравлическое сопротивление. Профиль скорости такого движения в цилиндрической трубе показан на рис.12 .Вблизи стенок трубы наблюдается большой перепад скорости, скорость быстро нарастает от 0 до V – некоторого среднего значения скорости частиц, что позволяет считать такое течение в среднем однородным.

Характер течения жидкости (ламинарное или турбулентное) определяется целым рядом факторов: вязкостью жидкости, сечением трубы, скоростью течения и плотностью жидкости.

Как уже рассматривалось выше, на любой малый объём жидкости в потоке действуют ускоряющая сила и сила вязкого трения. Характер течения будет определяться отношением. Чем больше это отношение, тем больше вероятность возникновения вихрей, а следовательно, и турбулентного течения. Английский физик и инженер Рейнольдс рассчитал безразмерное отношениеF 1 /F 2 . Это отношение получило название числа Рейнольдса Re. Очевидно, число Re есть величина безразмерная.

Re =

=

где

плотность жидкости,l –характерный линейный размер сечения трубы (диаметр или радиус для цилиндрического сечения трубы, высота – для треугольного, сторона – для квадратного),

скорость потока,

коэффициент вязкости.

Так как число Рейнольдса зависит от двух характеристик жидкости – вязкости и плотности, то целесообразно ввести в это число величину

называемую кинематической вязкостью. Тогда (20) принимает вид

Переход от ламинарного течения к турбулентному определяется критическим числом Рейнольдса.

При числах



течение носит ламинарный характер, при

>

течение становится турбулентным. Критические значения числа Рейнольдса определяются только экспериментально. Для гладких цилиндрических труб

1000, если запринять радиус трубы. Число Рейнольдса играет большую роль во многих количественных исследованиях течения жидкости и газа. Оно является критерием подобия при создании моделей гидро- и аэродинамических систем и, в частности, кровеносной системы. Важно, чтобы модель имела то же число Рейнольдса, что и сама система. Это достигается соответствующим подбором скорости, вязкости и линейного размера сечения модели. Из (20) видно, что увеличение размеров сечения можно скомпенсировать уменьшением скорости теченияили подбором жидкости с соответствующими значениями вязкостии плотности.

Течение крови в сосудах носит в норме ламинарный характер, небольшая турбулентность наблюдается вблизи клапанов сердца. При патологии число Re может превысить критическое значение и течение станет турбулентным, что можно обнаружить по характерным шумам и использовать в диагностике заболеваний.

II . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

А. Определение коэффициента вязкости методом Стокса

Приборы и принадлежности : стеклянный цилиндр с кольцевыми метками, исследуемая жидкость, дробинки, микрометр, секундомер, линейка, термометр.

Английским физиком и математиком Стоксом было установлено, что сила вязкого трения F с, действующая в жидкости на движущееся тело при небольших скоростях прямо пропорциональна скорости, т.е.

(21)

где r-коэффициент сопротивления, зависящий от размеров и формы тела, а также от вязкости среды, в которой оно движется. Для твёрдого тела шарообразной формы радиуса R, движущего в жидкости с коэффициентом вязкости , коэффициент сопротивления

r = 6

Тогда по закону Стокса для модуля силы сопротивления, действующей на шарообразное тело, можно записать выражение

F c = 6

(22)

Метод Стокса позволяет определить вязкость жидкости. На шар B массой m, объёмом V, падающий в жидкости с коэффициентом вязкости действуют три силы: сила тяжести

выталкивающая сила(сила Архимеда) и сила сопротивления(рис.13). Сила тяжести рассчитывается по формуле

F т = mg =V

, где

плотность шара,g – ускорение свободного падения. Силу Архимеда можно рассчитать как

здесь m ж – масса жидкости, вытесненной шаром,

плотность этой жидкости. Сила сопротивленияF c вычисляется по формуле (22). Так как сила ипостоянны, а силавозрастает с увеличением скорости движения шара, то с некоторого момента времени эти три силы могут уравновесить друг друга, и движение шара станет равномерным. В векторной форме закон движения шара запишется в виде

,

или через модули сил этот закон можно записать таким образом

F T = F A + F C .

Подставим в последнее уравнение выражения для сил и получим:

откуда после соответствующих преобразований получим выражение,

или, учитывая, что

гдеD- диаметр шара, последнюю формулу запишем в виде

(23)

4. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутрен­него трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее пе­рестают размешивать ложечкой.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в не­посредственной близости к стенкам трубы до макси­мума на оси трубы.

Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие цилиндрические слои, которые скользят друг относительно друга, не пере­мешиваясь (рис. 42.1). Такое течение называется ла­минарным или слоистым (латинское слово lamina означает пластинку, полоску). Отсутствие пе­ремешивания слоев можно наблюдать, создав в стек­лянной трубке диаметра несколько сантиметров сла­бый поток воды и вводя на оси трубы через узкую трубочку окрашенную жидкость (например, анилин). Тогда по всей длине трубы возникнет тонкая окра­шенная струйка, имеющая отчетливую границу с водой.

Из повседневного опыта известно, что для того, чтобы Создать и поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между кон­цами трубы разности давлений. Поскольку при уста­новившемся течении жидкость движется без ускоре­ния, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы, уравновешиваются какими-то си­лами, тормозящим движение. Этими силами являет­ся силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой F 1 направленной по течению. Одновременно более медленный слой стрёмится замедлить движение более быстрого слон, дей­ствуя на него с силой F 2 y направленном против тече­ния (рис. 42.2).

Экспериментально установлено, что модуль СИЛЫ внутреннего трения, приложенной к площадке 5, ле­жащей на границе между слоями, определяется фор­мулой

где n- называемый вязкостью коэффициент про­порциональности, зависящим от природы и состояния

(например, температуры) жидкости, dv/dz-производная, показывающая, как быстро изменяется в дан­ном месте скорость течения в направлений г, перпен­дикулярном к площадке S. В случае качения жидко­сти в трубе ось z направлена в каждой точке границы между слоями по радиус} грубы (см. pиc, 42.1), Поэтому вместо dv/dz можно написать, dv/df, Знак мо­дуля в формуле (42.1) поставлен в связи с тем, что в зависимости от выбора направления оси z и харак­тера изменения скорости производная dv/dz может быть как положительной, так и отрицательной, в то время как модуль силы является положительной ве­личиной.

Мы уже отмечали, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна па оси трубы. Най­дем закон изменения скорости. Выделим воображае­мый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 42.3). При стационарном течении этот объем движется без ускорения. Следовательно, сумма приложенных к нему сил равна нулю. В направлении

движения на жидкость действует сила давления, мо­дуль которой равен p 1 Пr 2 ; во встречном направле­нии- сила давления, модуль которой равен p 2 Пr 2 . Результирующая сил давления имеет модуль

(Пr 2 - площадь основания цилиндра).

На боковую поверхность действует тормозящая движение сила внутреннего трения, модуль которой

согласно формуле

(42.1) равен

где 2Пrl - площадь бо­ковой поверхности ци­линдра, dv/dr - зна­чение производной на расстоянии r от оси трубы. Скорость убывает с расстоянием от оси труби, поэтому производ­ная dv/dr отрицательна и ее модуль равен -dv/dr {модуль отрицательного числа равен этому числу, взя­тому с обратным знаком).

Приравняв выражения (42.2) и (42.3), придем к дифференциальному уравнению

Разделив переменные, получим уравнение

интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняется при

Подстановка этого значения в (42.4) приводит к фор­муле

Скорость на оси трубы равна

С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде

Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому закону (рис. 42.4а).

С помощью формулы (42.7) можно вычисти, по­ток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в еди­ницу времени объем жидкости dQ, равный произведе­нию площади кольца 2Пrdr на скорость v(t) на рас­стоянии от оси трубы:

(мы воспользовались формулой (42.7)). Проинтег­рировав это выражение по г в пределах ОТ пули до R, получим поток Q:

(S-площадь сечения трубы). Поток можно пред­ставить как произведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из формулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы.

Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, по­лучим формулу

которая называется ф о р м у л о й П у а з е й л я. Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы.

Естественно, что Q пропорционален отношению {P 1 - Р 2) / l т. е. перепаду давле­ния на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n.

Формула Пуазейля использу­ется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q. Затем на основании полученных данных вычисляют n.

Мы все время подчеркивали, что предполагаем те­чение медленным для того, чтобы оно имело ламинар­ный характер. Напомним, что ламинарное течение яв­ляется стационарным. Это означает, что скорость ча­стиц жидкости, проходящих через данную точку про­странства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Течение становится нестационарным - скорость ча­стиц в каждой точке пространства все время беспоря­дочно изменяется. Такое течение называется тур­булентным. При турбулентном течении происхо­дит интенсивное перемешивание жидкости. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределится по всему сечению потока. Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке.

Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении скорости, кото­рая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сечений трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравне­ние с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при лами­нарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

Рейнольдс установил, что характер течения оп­ределяется значением безразмерной величины

где р- плотность жидкости (или газа), v - средняя по сечению трубы скорость потока, n - вязкость жид­кости, l - характерный для поперечного сечения по­тока размер, например сторона квадрата при квад­ратном сечении, радиус или диаметр при круглом се­чении. Величина Re называется числом Рейнольдса.

При малых значениях Re течение носит ламинар­ный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характер­ного размера трубы взять ее радиус (в этом случае Re = pvr/n), то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным примерно 1000 (если в качестве / взять диаметр трубы, то критическое зна­чение Re будет равно 2000).

Число Рейнольдса служит критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т. д. Напри­мер, характер течения различных жидкостей (или га­зов) в круглых трубах разных диаметров будет оди­наковым, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

Одним из основоположников статистической физики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году и носящее его имя. §1 Функция распределения. Для вывода кинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ, т.е. достаточно разряженный газ, состоящий из электрически нейтральных атомов или молекул. Единственным видом взаимодействия между частицами...

К жидкостям относят вещества, которые по своим свойствам занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Жидкие среды составляют наибольшую часть организма, их перемещение обеспечивает обмен веществ и снабжение клеток кислородом, поэтому механические свойства и течение жидкостей представляют особый интерес для медиков и биологов.

Материал, изложенный в главе, имеет отношение к гидродинамике - разделу физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и взаимодействие их при этом с окружающими твердыми телами, и к реологии - учению о деформациях и текучести вещества.

НЬЮТОНОВСКИЕ И НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками (рис. 9.1), из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью υ Β . Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т.д. Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости (υ 1 < υ 2 < υ 3 <... и т.д), максимальная скорость υ Β будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке.

9.1. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ.

УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА.

Слои воздействуют друг на друга. Так, например, третий слой стремится ускорить движение второго, но сам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и т.д. Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость.

Это уравнение Ньютона. Здесь η - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения или динамической с вязкостью (или просто вязкостью). Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).

Единицей вязкости является паскаль-секунда (Пах). В системе СГС вязкость выражают в пуазах (П): 1 Пах = 10 П.

Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента скорости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (9.1) и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (9.1), относят к неньютоновским. Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютоновской - аномальной.

Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению молекул или частиц пространственные структуры, являются неньютоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей.

Увеличение вязкости происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютоновской, вязкости, но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью.

9.2. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен.

9.3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН СТОКСА

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по сосудам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях в соответствии с уравнением Ньютона сила сопротивления движущемуся телу пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, ограничимся рассмотрением частного случая.

Наиболее простой формой тела является сфера. Для сферического тела (шарик) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных выше факторов выражается законом Стокса:

Формула (9.15) справедлива для движения шарика не только в жидкости, но и в газе. Она может быть использована, в частности, для вычисления времени выпадения пыли в воздухе. Поясним это следующим примером. Для воздуха - среды, в которой взвешены различные частицы пыли, - вязкость η = 0,000175 П ? с. Около 80% пыли, обнаруженной в легких умерших людей, составляют частицы размером от 5 до 0,2 мкм. Если считать пылинки шарообразными, а плотность пыли равной плотности земли (р = 2,5 г/см 3), то, вычисляя скорость падения этих пылинок по формуле (9.15), найдем, что ее значения находятся в пределах 0,2-0,0003 см/с. Для полного выпадения такой пыли в комнате высотой 3 м потребуется около 12 суток при условии полной неподвижности воздуха и отсутствия броуновского движения.

9.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ.

КЛИНИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЯЗКОСТИ КРОВИ

Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, а приборы, используемые для таких целей, - вискозиметрами. Рассмотрим наиболее распространенные методы вискозиметрии.

Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной

массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений. Капиллярные вискозиметры различной формы показаны на рис. 9.7, а, б (1 - измерительные резервуары; М 1 и М 2 - метки, обозначающие границы этих резервуаров; 2 - капилляры; 3 - приемные сосуды).

Капиллярный вискозиметр применяется для определения вязкости крови.

Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от значений 10 -5 Па? с, свойственных газам, до значений 10 4 Па? с, характерных для консистентных смазок.

Метод падающего шарика используется в вискозиметрах, основанных на законе Стокса. Из формулы (9.15) находим

Таким образом, зная величины, входящие в правую часть этой формулы, и измеряя скорость равномерного падения шарика, можно найти вязкость данной жидкости.

Предел измерений вискозиметров с движущимся шариком составляет 6 ? 10 4 - 250 Па? с.

Применяются также ротационные вискозиметры, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, например цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ротора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы,

действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.

С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость жидкостей в интервале 1-10 5 Пах, т.е. смазочных масел, расплавленных силикатов и металлов, высоковязких лаков и клеев, глинистых растворов и т.п.

В ротационных вискозиметрах можно менять градиент скорости, задавая разные угловые скорости вращения ротора. Это позволяет измерять вязкость при разных градиентах и установить зависимость η = /(άυ/άχ), которая характерна для неньютоновских жидкостей.

В настоящее время в клинике для определения вязкости крови используют вискозиметр Тесса с двумя капиллярами. Схема его устройства дана на рис. 9.7, в. Два одинаковых капилляра а 1 Ь 1 и а 2 Ь 2 соединены с двумя трубочками 1 и 2. Посредством резиновой груши или втягивая воздух ртом через наконечник 3, поочередно благодаря тройнику с краном 4 заполняют капилляр а 1 Ь 1 и трубочку 1 до отметки 0 дистиллированной водой, а капилляр а 2 Ь 2 и трубочку 2 до отметки 0 - исследуемой кровью. После этого теми же способами одновременно перемещают обе жидкости до тех пор, пока кровь не достигнет цифры 1, а вода - другой отметки в своей трубке. Так как условия протекания воды и крови одинаковы, то объемы наполнения трубок 1 и 2 будут различными вследствие того, что вязкости этих жидкостей неодинаковы. Хотя кровь и является неньютоновской жидкостью, используем с некоторым приближением формулу Пуазейля (9.8) и запишем очевидную пропорцию:

где V K - объем крови в трубке 2 от отметки 0 до отметки 1; У в - объем воды в трубке 1 от отметки 0 до отметки, полученной при измерении; η, и соответственно вязкость крови и воды. Отношение вязкости крови и вязкости воды при той же температуре называют относительной вязкостью крови.

В вискозиметре Гесса объем крови всегда одинаков, а объем воды отсчитывают по делениям на трубке 1, поэтому непосредственно получают значение относительной вязкости крови. Для удобства отсчета сече-

ния трубок 1 и 2 делают различными, так, что, несмотря на разные объемы крови и воды, их уровни в трубках будут примерно одинаковы.

Вязкость крови человека в норме 4-5 мПа? с, при патологии колеблется от 1,7-22,9 мПа? с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. При тяжелой физической работе вязкость крови увеличивается. Некоторые инфекционные заболевания увеличивают вязкость, другие же, например брюшной тиф и туберкулез, - уменьшают.

9.5. ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА

Рассмотренное ранее течение жидкости является слоистым, или ламинарным. Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение и движение становится вихревым, или турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным.

Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса:

Кинематическая вязкость полнее, чем динамическая, учитывает влияние внутреннего трения на характер течения жидкости или газа. Так, вязкость воды приблизительно в 100 раз больше, чем воздуха (при 0°С), но кинематическая вязкость воды в 10 раз меньше, чем воздуха, и поэтому вязкость сильнее влияет на характер течения воздуха, чем воды.

Как видно из (9.17), характер течения жидкости или газа существенно зависит от размеров трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольших скоростях может возникнуть турбулентное движение. Так, например, в трубке диаметром 2 мм течение воды становится турбулентным при скорости более 127 см/с, а в трубе диаметром 2 см - уже при скорости примерно 12 см/с (температура 16 °С). Течение крови по такой трубе стало бы турбулентным при скорости 50 см/с, но практически в кровеносных сосудах диаметром 2 см турбулентное течение возникает даже при меньшей скорости.

Течение крови в артериях в норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов.

При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, число Рей-нольдса может превышать критическое значение и движение станет турбулентным.

Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости, что в случае крови приводит к добавочной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболеваний. Этот шум прослушивают на плечевой артерии при измерении давления крови.

Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополнительную работу дыхательных мышц.

Число Рейнольдса является критерием подобия. При моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и натура, в противном случае не будет соответствия между ними. Это относится и к моделированию обтекания тел при движении их в жидкости или газе.

Из (9.17) видно, что уменьшение размеров модели по сравнению с натурой должно быть скомпенсировано увеличением скорости течения или уменьшением кинематической вязкости модельной жидкости или газа.

9.6. ОСОБЕННОСТИ МОЛЕКУЛЯРНОГО СТРОЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

Обычные жидкости изотропны, структурно они являются аморфными телами. Для внутреннего строения жидкостей характерен ближайший порядок (упорядоченное относительное расположение ближайших частиц). Расстояния между молекулами невелики, силы взаимодействия значительны, что приводит к малой сжимаемости жидкостей: небольшое уменьшение расстояния между молекулами вызывает появление больших сил межмолекулярного отталкивания. Подобно твердым телам, жидкости мало сжимаемы и обладают большой плотностью; подобно газам, принимают форму сосуда, в котором находятся. Такой характер свойств жидкостей связан с особенностями теплового движения их молекул. В газах молекулы движутся беспорядочно, на малых отрезках пути - поступательно, в расположении частиц отсутствует какой-либо порядок. В кристаллических телах частицы колеблются около определенных положений равновесия - узлов кристаллической решетки. По теории Я.И.Френкеля, молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положений равновесия, однако эти положения равновесия не являются постоянными. По истечении некоторого времени, называемого временем оседлой жизни, молекула скачком переходит в новое положение равновесия на расстояние, равное среднему расстоянию между соседними молекулами.

Среднее время оседлой жизни молекулы называют временем релаксации r. С повышением температуры и понижением давления время релаксации сильно уменьшается, что обусловливает большую подвижность молекул жидкости и малую ее вязкость.

Для того чтобы молекула жидкости перескочила из одного положения равновесия в другое, должны нарушиться связи с окружавшими ее молекулами и образоваться связи с новыми соседями. Процесс разрыва связей требует затраты энергии Е а (энергия активации), выделяемой при образовании новых связей. Такой переход молекулы из одного положения равновесия в другое является переходом через потенциальный барьер

9.7. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

На поверхностях раздела жидкости и ее насыщенного пара, двух не-смешиваемых жидкостей, жидкости и твердого тела возникает сила, обусловленная различным межмолекулярным взаимодействием граничащих сред.

Каждая молекула, расположенная внутри объема жидкости, равномерно окружена соседними молекулами и взаимодействует с ними, но равнодействующая этих сил равна нулю. На молекулу, находящуюся вблизи границы двух сред, вследствие неоднородности окружения действует сила, не скомпенсированная другими молекулами жидкости. Поэтому для перемещения молекул из объема в поверхностный слой необходимо совершить работу.

Поверхностное натяжение определяется отношением работы, затраченной на создание некоторой поверхности жидкости при постоянной температуре к площади этой поверхности:

Условием устойчивого равновесия жидкостей является минимум энергии поверхностного слоя, поэтому при отсутствии внешних сил или

в состоянии невесомости жидкость стремится иметь минимальную площадь поверхности при данном объеме и принимает форму шара.

Поверхностное натяжение может быть определено не только энергетически. Стремление поверхностного слоя жидкости сократиться означает наличие в этом слое касательных сил - сил поверхностного натяжения. Если выбрать на поверхности жидкости некоторый отрезок длиной l (рис. 9.8), то можно условно изобразить эти силы стрелками, перпендикулярными отрезку.

Поверхностное натяжение равно отношению силы поверхностного натяжения к длине отрезка, на котором действует эта сила:

Из школьного курса физики известно, что оба определения, (9.21) и (9.22), тождественны. Приведем значения поверхностного натяжения для некоторых жидкостей при температуре 20 °С (табл. 1).

Таблица 1

Поверхностное натяжение зависит от температуры. Вдали от критической температуры значение его убывает линейно при увеличении температуры. Снижения поверхностного натяжения можно достигнуть введением в жидкость поверхностно-активных веществ, уменьшающих энергию поверхностного слоя.

9.8. СМАЧИВАНИЕ И НЕСМАЧИВАНИЕ. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

На границе соприкосновения различных сред может наблюдаться смачивание или несмачивание.

Рассмотрим поведение капли жидкости на поверхности другой, не смешивающейся с ней, жидкости (рис. 9.9) и капли жидкости на поверхности твердого тела (рис. 9.10 и 9.11). На поверхностях раздела каждых двух сред (1 и 3, 2 и 1, 3 и 2) действуют силы поверхностного натяжения.

Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Др. Поверхностный слой подобен упругой оболочке, например резиновой пленке. Результирующая сил поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнуто-

ное количество жидкости из паров, что приводит к увлажнению белья, ваты в сырых помещениях, затрудняет сушку гигроскопических тел, способствует удержанию влаги в почве и т.п. Наоборот, несмачивающие жидкости не проникают в пористые тела. С этим связана, например, непроницаемость для воды перьев птиц, смазанных жиром.

Рассмотрим поведение пузырька воздуха, находящегося в капилляре с жидкостью. Если давление жидкости на пузырек с разных сторон одинаково, то оба мениска пузырька будут иметь одинаковый радиус кривизны (рис. 9.14, а). При избыточном давлении с одной из сторон, например при движении жидкости, мениски деформируются, изменятся их радиусы кривизны (рис. 9.14, б), дополнительное давление Ар с разных сторон станет неодинаковым. Это приведет к такому воздействию на жидкость со стороны пузырька воздуха (газа), которое затруднит или прекратит движение жидкости. Такие явления могут происходить в кровеносной системе человека.

Попавшие в кровь пузырьки воздуха могут закупорить мелкий сосуд и лишить кровоснабжения какой-либо орган. Это явление, называемое эмболией, может привести к серьезному функциональному расстройству или даже летальному исходу. Так, воздушная эмболия может возникнуть при ранении крупных вен: проникший в ток крови воздух образует воздушный пузырь, препятствующий прохождению крови. Пузырьки воздуха не должны попадать в вены при внутривенных вливаниях.

Газовые пузырьки в крови могут появиться у водолазов при быстром подъеме с большой глубины на поверхность, у летчиков и космонавтов при разгерметизации кабины или скафандра на большой высоте (газовая эмболия). Это обусловлено переходом газов крови из растворенного состояния в свободное - газообразное в результате понижения окружающего атмосферного давления. Ведущая роль в образовании газовых пузырьков при уменьшении давления принадлежит азоту, так как он обусловливает основную часть общего давления газов в крови и не участвует в газообмене организма и окружающего воздуха.

Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Ньютоновские и неьнютоновские жидкости. Реологические свойства крови.

Внутренним трением (вязкостью) жидкости называется явление при котором, при течении реальной жидкости отдельные слои её взаимодействуют друг на друга с силами, касательными к слоям.

Ур-ие Ньютона. Где - вязкость, зависящая от состояния и молекулярных св-в жидкости (или газа). - Градиент скорости, характеризует быстроту изменения скорости между слоями жидкости, в направлении перпендикулярном течению жидкости. Единица вязкости – паскаль-секунда (Па*с), а в системе СГС – пауза (П).

Для большинства жидкостей (вода, сыворотка и плазма крови, низкомолекулярные органические соединения, истинные р-ры, расплавленные металлы и их соли) вязкость зависит только от природы жидкости и температуры (с повышением температуры вязкость понижается). Такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона и называют их ньютоновскими .

У некоторых жидкостей (р-ры ВМС, дисперсные системы- эмульсии и суспензии, кровь) вязкость зависит также от режима течения – давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается вследствие нарушения внутренней структуры потока жидкости. Такие жидкости не подчиняются уравнению Ньютона и называют их неньютоновскими или структурно вязкими. Их вязкость больше чем у простых жидкостей. Это происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской вязкости, но и на разрушение структуры. Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютоновской – аномальной.

Когда распределение течения слоев жидкости происходят по вышенарисованной схеме, то течение жидкости является слоистым или ламинарным . Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение и движение становиться вихревым или турбулентным . При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте беспрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным. Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости её течения. Размером трубы и определяется числом Рейнольдса:

Где - плотность жидкости, D - диаметр трубы. Если число Рейнольдса больше некоторого критического (>), то движение жидкости турбулентное. Так как число Рейнольдса зависит от вязкости и плотности жидкости, то вводят их отношение называемое кинематической вязкостью .

из этого следует,

Единицей является м 2 /с, с системе СГС – стокс (Ст). 1Ст= 10 -4 м 2 /с.

По закону Пуазейля кол-во жидкости, вытекающей за 1 секунду из трубы радиуса R и длины при разности давлений на концах трубы P 1 -P 2 равно:

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость, длина трубы и меньше площадь поперечного сечения

Трение жидкости. Для измерения статического давления жидкости, текущей в трубе, можно применить такое устройство: к маленьким отверстиям, просверленным в трубе, присоединяют вертикальные открытые сверху трубочки (манометрические трубки, рис. 307). Если жидкость в трубе находится под давлением, то в вертикальной трубочке жидкость поднимается на высоту, соответствующую статическому давлению в данном месте трубы). В самом деле, небольшое отверстие почти не внесет изменений в поток жидкости, текущей в трубе. Устанавливая манометрические, трубки в разных местах трубы, мы сможем измерить статическое давление в соответственных точках.

Рис. 307. Манометрические трубки показывают статическое давление в трубе, по которой течет жидкость

Исследуем при помощи манометрических трубок статическое давление жидкости, текущей вдоль трубы постоянного сечения. Для этого воспользуемся прибором, изображенным на рис. 308. По высоте воды в манометрических трубках, расположенных вдоль трубы, мы можем определить статическое давление в разных местах трубы. Опыт показывает, что вдоль трубы по течению давление падает: чем дальше от начала трубы, тем меньше статическое давление текущей жидкости. При этом в узких трубах давление падает быстрее, чем в широких. В достаточно широких и коротких трубах при не очень большой скорости течения падение давления практически незаметно.

Рис. 308. Манометрические трубки показывают падение давления вдоль трубы, по которой течет вода

Падение давления жидкости в трубе объясняется трением. На жидкость, текущую по трубе, действуют со стороны стенок трубы силы трения; они направлены противоположно движению жидкости. Выделим мысленно в трубе объем жидкости (рис. 309). Со стороны стенок трубы на выделенный объем действуют силы трения . Если жидкость течет по трубе равномерно (с постоянной скоростью), то силы давления, действующие на выделенный объем, должны уравновешивать силы трения. Отсюда заключаем, что сила давления действующая в направлении движения, по модулю должна быть больше силы давления , действующей в противоположном направлении. Поэтому давление на задней поверхности выделенного объема должно быть больше давления на передней поверхности , т. е. давление должно убывать вдоль трубы по течению.

Рис. 309. Сумма сил давления и уравновешивает силы трения со стороны стенок трубы

Если увеличить скорость жидкости, текущей по трубе, то сила трения возрастет. Поэтому при быстром течении жидкости падение давления в данной трубе больше, чем при медленном течении. При данной скорости течения трение сказывается сильнее в узких трубах, чем в широких; поэтому вдоль узких труб давление падает быстрее.

При устройстве водопроводов необходимо учитывать падение давления в водопроводных трубах. Когда все краны водопровода закрыты и вода по трубам не течет, то давление воды соответствует высоте водонапорной башни (§ 155). В покоящейся жидкости никаких сил трения не возникает. Если же краны открыты и вода течет, то трение в трубах вызывает падение давления: «напор» воды уменьшается. Чем большее число кранов открыто и чем быстрее течет вода, тем больше падает напор.

При недостаточной высоте водонапорной башни может оказаться, что падение давления воды в трубах больше, чем давление, соответствующее высоте башни над верхними этажами дома. Тогда вода перестанет течь из кранов верхних этажей. Но в часы, когда потребление воды невелико, потери давления уменьшаются и вода в верхних этажах появляется снова; и, вообще, давление воды в водонапорной сети больше всего ночью, когда расход воды мал, скорость движения воды по трубам мала, и поэтому трение сравнительно невелико.

Падение давления в водопроводе демонстрируется на следующей модели (рис. 310). Узкая (для увеличения трения) труба и ее ответвление , снабженные манометрическими трубками, могут закрываться кранами и . Если налить воду в сосуд и закрыть краны, то давление в трубах и будет соответствовать высоте налитой воды и вода во всех манометрических трубках будет стоять на том же уровне, что и в сосуде . Если немного открыть кран , то в трубе мы увидим знакомую уже нам картину падения давления вдоль трубы; в трубе давление упадет, но будет одинаково во всех точках и равно давлению в точке . Если больше открыть кран , то и падение давления вдоль трубы станет больше. Если приоткрыть еще кран , то появится падение давления воды вдоль трубы и одновременно уменьшится давление во всех точках трубы .