"Координатная плоскость" - видеоуроки по математике (6 класс). Что такое координатная плоскость

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

отложим число $3$ на оси $x$;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

отложим число $2$ на оси $y$;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).

Что такое координатная плоскость?

Термин «координаты» в переводе с латинского языка значит слово «упорядоченный».

Допустим, нам нужно обозначить положение точки на плоскости. Для этого мы берем 2 перпендикулярные прямые, которые называются осями координат, где Х будет осью абсцисс, У- осью ординат, а началом координат будет точка О. Образованные с помощью осей координат прямые углы, будут называться координатными углами.

Так мы подошли к определению и теперь знаем, что координатной плоскостью является плоскость с заданной системой координат.

А теперь давайте посмотрим, нумерацию координатных углов:

Теперь давайте с вами отобразим прямоугольную систему координат и отметим в ней точку M.

Далее нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси У. Теперь, смотрим, что у нас вышло. Как видим, что прямая пересекает ось Х в той точке, в которой координата будет равна −2. Данная координата является абсциссой точки M.

Теперь нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси Х.

Мы с вами видим, что эта прямая пересекает ось Х в той точке, координата которой равняется трем. Вот эта координата будет ординатой точки М.

Запись координат токи М будет выглядеть так:

В такой записи всегда на первое место ставят абсциссу, а на второе – ординату. Если рассмотреть на примере координат точки М(-2;3), то -2 выступает в роли абсциссы точки М, а ординатой этой точки будет число 3.

Из этого следует, что на координатной плоскости каждой точке М соответствует такая пара чисел, как ее абсцисса и ордината. Верным будет и утверждение наоборот, то есть, каждой такой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание:

Координатная плоскость в жизни

Как по вашему, может ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что может обозначать эти выражения?

Оказывается все очень просто и банально и это значит местонахождение того или иного объекта, по которому легко найти человека или какое-то определенное место. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно.

Такой системой координат может быть как домашний адрес, так и номер телефона, место работы и т.д.

Ведь даже при покупке билетов на поезд, вы знаете не только его номер и место назначения, но и обязательно должен быть указан номер вагона и места.

Чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще и знать номер квартиры.

Задание

1. Какими сведениями вы должны владеть, чтобы занять место в театре?
2. Какие данные нужно иметь, чтобы определить точки на земной поверхности?
3. По каким координатам можно определить место в кинотеатре?
4. Что необходимо знать, чтобы определелить положения фигуры на шахматной доске?
5. Какими координатами вы пользуетесь при игре в морской бой?

Историческая справка

Идея использования координат появилась еще в глубокой древности. Первоначально их применять начали астрономы, для определения небесных светил и географы – для определения местонахождения и объектов на поверхности Земли.

Благодаря трудам древнегреческого астронома Клавдия Плотомея уже во втором веке ученые научились определять долготу и широту.

А известно ли вам, почему в математике существует такое понятие, как «Декартова система координат»? Оказывается метод координат, который имеет общематематическое значение, был открыт французскими математиками Пьером Ферма и Рене Декартом в XVII в., а в 1637 году Рене Декарт впервые описал его в книге по геометрии.

А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Домашнее задание:

Тема данного видео урока: Координатная плоскость .

Цели и задачи урока:

Ознакомиться с прямоугольной системой координат на плоскости
- научить свободно ориентироваться на координатной плоскости
- строить точки по заданным её координатам
- определять координаты точки, отмеченной на координатной плоскости
- хорошо воспринимать на слух координаты
- четко и аккуратно выполнять геометрические построения
- развитие творческих способностей
- воспитание интереса к предмету

Термин «координаты » произошел от латинского слова - «упорядоченный»

Чтобы указать положение точки на плоскости берут две перпендикулярные прямые Х и У.

Ось Х - ось абсцисс
Ось У- ось ординат
Точка О- начало координат

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью .

Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Рассмотрены примеры:

по построению точки по её координатам
нахождение координат точки расположенной на координатной плоскости

Немного дополнительной информации:

Идея задавать положение точки на плоскости зародилась в древности - прежде всего у астрономов. Во II в. Древнегреческий астроном Клавдий Птоломей пользовался широтой и долготой в качестве координат. Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г.

Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г. французский математик Рене Декарт, поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой.

Слова «абсцисса », «ордината », «координаты » первым начал использовать в конце XVII.

Для лучшего понимания координатной плоскости, представим что нам даны: географический глобус, шахматная доска, театральный билет.

Для определения положения точки на земной поверхности надо знать долготу и широту.
Для определения положения фигуры на шахматной доске нужно знать две координаты, например: е3.
Места в зрительном зале определяются по двум координатам: ряд и место.

Дополнительное задание.

После изучения видео урока, для закрепления материала, предлагаю Вам взять ручку и листик в клеточку, начертить координатную плоскость и построить фигуры по заданным координатам:

Грибок
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
Мышонок 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Хвост: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Глаз: (- 1; 5).
Лебедь
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Клюв: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Крыло: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Глаз: (0; 7).
Верблюд
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Глаз: (- 6; 7).
Слоник
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Глаза: (2; 4), (6; 4).
Конь
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Глаз: (- 2; 7).

Для указания взаимного расположения каких-то исследуемых объектов используются:

координатный луч, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по одну сторону от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
координатная прямая, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по разные стороны от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
координатная плоскость, когда их размещение или движение происходят вдоль произвольной непрямой линии.

Элементы координатной плоскости

Координатная плоскость отличается от обычной плоскости тем, что на неё наносится система координат. Примером может служить изображение любого материка с нанесёнными на него параллелями и меридианами, которые и задают систему географических координат, позволяющих находить или задавать положение любого объекта на карте.

Система координат представляет собой две взаимно пересекающиеся под прямым углом координатные прямые в точках начала отсчёта. Горизонтальную координатную прямую принято называть осью абсцисс (абсцисса с лат. яз. – отрезок). Вертикальную прямую – осью ординат (ордината с лат. яз. – выстраивание по порядку).

Аналогично, координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что на ней выбирают какую-то точку за начало отсчёта; выбирают масштаб единичного отрезка в зависимости от того, какие расстояния предстоит изображать; положительное направление отсчёта, обозначаемое на координатной прямой стрелкой.

Положение объекта на такой плоскости обозначают точкой с двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.

Использование координатных плоскостей

Координатные плоскости широко используются для решения геометрических и физических задач. Причём в физике за ось абсцисс часто принимают ось времени. Тогда ось ординат задаёт координату тела на координатной прямой, располагаемой вдоль прямолинейной траектории движения тела.

Основные сведения о координатной плоскости

Определение 1

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

отложим число $3$ на оси $x$;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

отложим число $2$ на оси $y$;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).